Введение

Вопрос о соотношении между экономикой как наукой о производстве, распределении, обмене и потреблении ценностей и математикой как наукой о количественных отношениях (числах) и пространственных формах (геометрических фигурах) исследовался в течение столетий (Макаров и др., 2022; Блауг, 2004; Карев, 2011; Юшкевич, 1970; Michel & Chemla, 2020; Weintraub, 2002). При этом возникновение математики как самостоятельной науки часто связывалось с необходимостью решения таких проблем, как измерение и сравнение материальных и финансовых ресурсов, выплата процентов по займам, адекватная оплата труда и тому подобное. Здесь математика выступает как вспомогательная сфера по отношению к экономике. Развитие экономики, в свою очередь, способствовало расширению предметно-функциональной сферы математики, ее становлению как области профессиональной деятельности математиков. В дальнейшем данные отрасли развивались по расходящимся траекториям, пока в конце XIX – начале XX вв. не сформировалось самостоятельное промежуточное направление –  сфера экономико-математического моделирования, пополнившая к началу XXI в. свой инструментарий за счет имитационного, компьютерного и когнитивно-интеллектуального моделирования (big data, интернет, искусственный интеллект). В новых условиях взаимоотношения между математикой и экономикой требуют пересмотра как на макроуровне взаимоотношений научно-практических дисциплин, так и на микроуровне взаимоотношений «математическая модель –  экономический объект моделирования».

В настоящей статье вопрос о взаимоотношении между математикой и экономикой рассматривается с позиций поиска резервов повышения эффективности их коллаборации. Вопрос порой выходит за рамки указанных дисциплин и затрагивает общие проблемы познания и преобразования действительности. В качестве методологического инструментария для его исследования используется образ ленты Мебиуса –  известной геометрической модели пространства, воплощающей концепцию единства и бесконечности мира. Ее применение дает возможность определить основные направления согласованного развития математики и экономики как полярных и вместе с тем взаимосвязанных научно-практических дисциплин. С этой целью в статье решаются задачи исследования: общих черт этих отраслей знания; их отличительных особенностей; динамики развития промежуточной сферы экономико-математического моделирования. Конструкция помещается в «мир Мебиуса» как пространственно-временной континуум, дающий неограниченный диапазон для формирования системного мировоззрения во внесистемном и нестабильном мире.

Математика и экономика: предметно-функциональные различия

Некоторые авторы полагают, что естественным языком общей экономической теории является язык математики (Самуэльсон, 2002; Доу, 2006; Барлыбаев и др., 2009). Однако математика выходит за рамки языковой функции и представляет собой саморазвивающуюся, в значительной степени автономную систему. При этом математика и экономическая теория представляют собой принципиально различные ветви знания. Если математика базируется на терминах и концепциях, формируемых в рамках самой дисциплины (натуральный ряд, рациональные и иррациональные числа, функции, правильные многогранники и другие), то экономика широко использует термины и знания, относящиеся к смежным наукам, таким как социология, технология, психология и иные. В этом смысле зазор между собственно математикой и собственно экономикой является, кажется, неустранимым. В пространстве между ними помещается огромный массив знаний о методах измерения, процедурах построения и интерпретации экономико-математических моделей, разработке рекомендаций по совершенствованию управления экономикой. Отсюда следует, что когда речь идет об адекватности той или иной математической или компьютерной модели, имеется в виду не сближение математической модели и экономической реальности, а соответствие модели той промежуточной информации, которая, с одной стороны и в одних терминах описывает свойства модели, а с другой и в других терминах описывает состояние того или иного фрагмента экономики.

Можно отметить существенные различия между психологическими типами ученых, работающих в сфере математики, с одной стороны, и в сфере экономики, с другой. Исследователи-математики и исследователи-экономисты в общем случае обладают не просто различными, но противоположными психологическими особенностями (см., напр., (Винобер, 2024)). Несколько примеров:

Чтобы глубже понять различие между математикой и экономикой, обратимся к классификации наук по особенностям предметов изучения. Воспользовавшись методологией системной экономической теории, условно разделим науки на четыре группы:

Математика относится к числу объектных наук, поскольку единицами изучения в ней являются, главным образом, такие статические объекты, как числа, множества, фигуры и тому подобные; экономика –  к числу процессных наук, поскольку единицами исследования являются обычно процессы, такие как экономический рост, инфляция, динамика занятости и другие. Наоборот, история, изучающая локальные в пространстве и во времени события, –  проектная наука; философия, изучающая всеобщие законы развития мира и общества, –  средовая наука.

Основываясь на этой классификации, можно заключить, что экономика и математика являются в определенном смысле антиподами по отношению друг к другу (более подробные сведения о свойствах таких полярных систем, как объект и процесс, проект и среда, можно получить из теории тетрад и теории двойственности (см. (Клейнер, 2019)). Утверждения, исходящие от математики и от экономики, воспринимаются человеком неодинаково. Если математические формулировки воспринимаются как однозначные, то экономические –  как относительные, зависящие от времени и пространства их адресации, а также контекста их формулирования. Соответственно, утверждения в математике, как правило, считаются объективными, а оценки в экономике носят субъективный характер. Последнее обстоятельство выражается с помощью утверждений типа «ощущается как …». Например, температура воздуха –5 °C ощущается как –9 °C. Речь идет о роли человеческого фактора в промежуточном пространстве между математикой и экономикой. Фактически эту же роль выполняет фондовый рынок, который формируется на базе множества субъективных оценок и влияет на реальное состояние экономических систем.

Математика и экономика: общие черты

Несмотря на явные различия между математикой и экономикой, можно отметить ряд общих признаков. Обе эти науки пользуются значительным массивом общих терминов: рост и падение; принадлежность/собственность; равновесие; влияние/зависимость; производные/деривативы; штрафы (штрафные функции/штрафные санкции); группировка и координация; «золотое сечение»; дискретность и непрерывность; инвариантность; семейство; неопределенность; система и иные. В математике используются и такие, казалось бы, чисто экономические выражения, как предельное влияние (частная производная), эластичность замещения, «жадные» алгоритмы и другие. Многие методы и алгоритмы вычислительной математики могут быть адекватно описаны в терминах экономических отношений между самостоятельными агентами с учетом аналогии между частными производными и ценами. Так, метод множителей Лагранжа для нахождения условного экстремума функции имеет однозначную экономическую интерпретацию. То же самое можно сказать и о ряде других методов решения оптимизационных задач, включая методы покоординатного спуска, градиентные методы и другие.

В общем случае математику можно рассматривать как определенный вид экономической деятельности, включающей производство (получение новых результатов), распределение (размещение полученных результатов в каналах коммуникации с потребителями/пользователями результатов), обмен (взаимное ознакомление с полученными результатами и консультации с участниками рынка в рамках семинаров, симпозиумов, конференций), потребление (использование внешней информации, необходимой для продолжения исследований). Экономические закономерности в адаптированном виде распространяются и на рынок математических результатов, включающий такие продукты, как новые концепции, теоремы, алгоритмы. Подобно тому, как в экономике взаимодействуют объектные, проектные, процессные и средовые системы, в математике можно обнаружить разделы, обладающие чертами, сходными с особенностями, характерными для объектного, проектного, процессного и средового секторов экономики. Дискретную математику, включая алгебру, можно рассматривать как аналог объектного сектора; теорию вероятностей, трактующую вероятности событий с помощью σ-алгебр –  как аналог проектного сектора; функциональный анализ и теорию функций –  как аналог процессного сектора; топологию –  как аналог средового сектора. Это дает возможность применить к математике с соответствующими модификациями результаты исследований взаимосвязей между системными секторами экономики.

Наиболее важная связь между математикой и экономикой реализуется с помощью термина «система». На стороне математики возникают системы координат, переменных, зависимостей, уравнений и другие. На стороне экономики фигурируют системы интересов, институтов, ограничений и другие системы. В ходе моделирования в качестве систем выступают: предмет моделирования; аппарат моделирования; процесс моделирования (согласование этапов моделирования); цели моделирования; интерпретация результатов моделирования. Понимание всеобщности концепции системы составляет основу так называемого системного мышления и системного моделирования (Клейнер, 2013; Морозов, 2016; Горелов и др. 2012; Черкашин, 2019). Развитие системной методологии на базе общей теории систем и пространственно-временного анализа должно привести к созданию системной математики как науки о структуре и взаимодействии математических систем; системной экономики как науки о создании и взаимодействии экономических систем; системного моделирования как системы методов построения и исследования взаимоотношений между математическими и экономическими системами. В связи с этим одной из задач как экономического, так и математического образования является воспитание исследователей и участников экономической деятельности, обладающих знаниями и навыками во всех трех сферах: системной математике, системной экономике и системном моделировании. Можно сказать, что от homo economicus («человека экономического») как желательного образа участника экономической деятельности необходимо перейти к желательному образу homo systematum («человеку системному»). Решение этой задачи потребует существенных изменений в структуре и целях не только высшего и среднего, но и начального образования в России.

Математика и экономика: путь навстречу

Улучшение взаимодействия между математикой и экономикой должно осуществляться в двух направлениях: математизации экономики и экономизации математики. Магистральная линия математизации экономики проходит через ее аксиоматизацию. Создание целого ряда четко структурированных, конкурирующих аксиоматизированных экономических теорий позволило бы иначе взглянуть на «расширяющуюся вселенную» экономической теории (Клейнер, 2023а), более четко осознать взаимосвязь ее сегментов, направленность и асимптотику движения экономической науки.

Параллельно необходимо рассматривать расширение и углубление процесса экономизации математики, приближение ее к актуальным задачам моделирования. Речь идет не о расширении фронта применения известного аппарата математики к построению экономико-математических моделей, а о модернизации ряда фундаментальных понятий математики, таких как натуральный ряд, число, множество, принадлежность. Повышение качества и эффективности математических моделей экономики зависит не только от выбора состава переменных, отражения существующих ограничений и целей агентов в процессе поиска управляющих решений, но и от адекватного толкования смысла переменных, включаемых в модель. Детальный анализ показывает, что в современной реальной жизни понятие числа как количественного результата измерения или оценки используется не совсем так, как это формулируется в рамках математики. Если на начальных этапах становления математики как самостоятельной науки объектом ее исследования, главным образом, были объемы, количества и пропорции предметов материальной сферы, то впоследствии фокус предметной области математики сместился в социально-гуманитарную сферу. При этом фундаментальные и инструментальные категории математики в значительной мере сохранили ориентацию на моделирование материальной сферы. Адаптация математики к современной экономике требует, прежде всего, отражения человеческого фактора во всех слоях математики –  от фундаментальных категорий до правил вывода и проверки результатов.

Статичный характер краеугольных математических объектов может быть скорректирован, прежде всего, за счет учета положения исследователя в социально-экономическом пространстве и времени (аналог учета позиции наблюдателя в квантовой физике). Так, с математической точки зрения, все члены натурального ряда отличаются от соседних на одну и ту же величину –  единицу. Это, однако, обеспечивает адекватное восприятие результатов только если натуральные числа используются для измерения количества участников относительно небольшого семейства. В случае, когда речь идет о семействах с большим числом участников или о показателях, имеющих высокие уровни (больших числах), то здесь использование натурального ряда с равноудаленными друг от друга элементами не может считаться адекватным. В основу математических конструкций должен быть положен более гибкий синтезированный натуральный ряд, позволяющий использовать совместно с натуральными измерителями, качественные характеристики типа «большой», «средний», «малый». Натуральные числа как элементы натурального ряда не могут адекватно использоваться участниками экономической деятельности в качестве натуральных измерителей объемов экономических ресурсов в случаях, когда речь идет о больших количествах измеряемых единиц. Гипотетический ряд должен, по мере удаления от начала, все больше «размываться» и приобретать черты непрерывной структуры (континуума). Применительно к измерениям в физике подобные соображения высказывались П. К. Рашевским (Рашевский, 1973).

Подобным образом для экономических целей должно быть модернизировано понятие множества и, соответственно, понятие принадлежности. В большинстве случаев множество в математико-экономических исследованиях предстает в виде ядра (сущности) и периферии (окрестности). Нечеткие или вероятностные критерии принадлежности данного объекта к множеству должны отражать позицию исследователя по отношению к ядру и периферии данного множества: компетенции наблюдателя по определению функции принадлежности зависят от того, находится ли наблюдатель вблизи или внутри ядра, вблизи или внутри периферии, или за пределами рассматриваемого множества. Существенное значение имеют и цели исследования. Для целей стратегического планирования или управления необходим значительно более гибкий математический аппарат, чем для краткосрочного регулирования. Необходимо развитие особого направления в математике –  стратегической математики, базирующейся на концепции «нежесткого» натурального ряда и предназначенной для моделирования стратегических процессов в условиях неопределенности.

Организация эффективного и корректного взаимодействия математики и экономики требует систематического взаимного многоуровневого мониторинга развития этих направлений, взаимной коммуникации и, по возможности, синхронизации их движения. Перспективная цель –  коэволюционное развитие математики и экономики на основе переплетения математики и экономики в области фундаментальных, теоретических, прикладных и проблемно-ориентированных исследований.

Реализация этой исследовательской программы в значительной мере опирается на методологию и методику моделирования, то есть построение и интерпретацию математических/компьютерных моделей экономических систем. В работах Г.Б. Клейнера и А.В. Егорова (Клейнер, 2023б, 2023с; Егоров, 2025) развивается концепция доказательного моделирования (evidence-based modeling), призванная, с одной стороны, обеспечить стандартизацию моделирования, с другой – повысить доверие к его результатам. Необходимо создание методики доказательного моделирования на основе транспарентности этапов и всего процесса построения модели. Новое направление в методологии моделирования должно обеспечить максимальную корректность и надежность результатов моделирования. Все этапы доказательного моделирования должны сопровождаться проверкой их эффективности и безопасности с точки зрения дальнейшего продвижения к построению и интерпретации модели. Парадигма доказательного моделирования была бы одним из возможных ответов на сомнения в практической эффективности экономической науки в целом.

Правильное выполнение процедур доказательного моделирования (в случае достаточной развитости методики) в общем случае должно обеспечивать получение правильного (корректного) результата. Иными словами, в методологическом плане в условиях индустриализации моделирования процесс построения модели, как правило, важнее, чем его итоговый результат. Это не означает, что то же самое имеет место для построения единичной конкретной модели. В общем случае вопрос о соотношении важности процесса и результата заслуживает отдельного обсуждения, актуальность которого в последнее время резко возросла в связи с широким использованием систем искусственного интеллекта с непрозрачным процессом построения модели.

Схематичное изображение этапов моделирования и их взаимосвязи представлено на рисунке 1.

Рисунок 1. Стилизованная схема моделирования

Figure 1. Stylized modeling diagram

Источник: составлено автором

Source: compiled by the author

Технология моделирования изображена на рисунке в виде двух симметрично восходящих направлений: левая часть рисунка отражает движение эмпирической информации об объекте моделирования, правая часть –  движение информации о цели и условиях моделирования. Средняя часть рисунка отражает движение субъективной информации, используемой как для построения модели, так и для ее интерпретации. Принцип доказательности моделирования требует повышенного внимания ко всем компонентам моделирования и связям между ними (Клейнер, 2023б).

В пространстве Августа Мебиуса

Взаимоотношения объекта моделирования как фрагмента экономического пространства и математической модели этого объекта как фрагмента математического пространства носят сложный характер (рисунок 1). Столь же сложный характер имеют и взаимоотношения между математикой и экономикой как двумя научными дисциплинами. В наиболее наглядной форме их можно отразить, используя так называемую ленту Мебиуса –  одностороннюю неориентируемую двумерную поверхность в трехмерном пространстве. В качестве материальной модели ленты Мебиуса обычно используется длинная полоска бумаги, которую склеивают в кольцо, предварительно перевернув один из концов на 180о. В результате получается кольцо, все точки которого можно обойти, не пересекая край ленты. Именно лента Мебиуса с 1976 г. стала эмблемой Центрального экономико-математического института, символизируя сочетание экономики и математики как основных направлений исследований института (рисунок 2).

Философское значение ленты Мебиуса как модели окружающего мира связано с признанием единства мира как в пространстве, так и во времени. В «мире Мебиуса» нет абсолютного начала и безусловного конца. В ходе циклических процессов системы изменяют свою форму, сохраняя особенности содержания. В наибольшей степени это относится к экономическим системам, реализующим на регулярной основе процессы производства, распределения, обмена и потребления. То же самое можно сказать и о технологических процессах, составляющих основу экономического развития (подробное описание взаимодействия технологических и экономических процессов см. в (Сухарев, 2025а, 2025b; Клейнер, 2024)).

Концепция ленты Мебиуса проливает свет на один из основных вопросов научного взгляда на мир, а именно, на вопрос о проницаемости границ систем в пространстве и во времени. В «мире Мебиуса» внутреннее наполнение систем не отделено непроницаемой границей от внешнего окружения; внутреннее наполнение и внешнее окружение находятся в постоянном взаимодействии и подчиняются законам двойственности (более подробно см. в (Клейнер, 2019)). Это относится, в частности, к внутреннему наполнению и внешнему окружению таких систем, как математика и экономика. Концепция «мира Мебиуса» в некотором смысле противостоит концепции иерархического структурирования экономики через вертикальное разделение последней на мега-, макро-, мезо-, микро-, наноэкономику (Клейнер, 2004). В развитии восприятия экономики как целостной и даже монолитной системы заключен серьезный резерв для преодоления целого ряда проблем современной экономической теории. В поисках факторов для объяснения поведения экономических

Рисунок 2. Лента Мебиуса на фасаде здания ЦЭМИ

Figure 2. Möbius strip on the facade of the CEMI building

систем в общем случае следует обращаться не только к микрооснованиям, но и к мега-, макро-, мезо- и нанооснованиям тех или иных явлений или процессов. Априорное равноправие уровней экономики как совокупности возможных факторов влияния, равно как и изотропность экономического пространства, то есть отсутствие раз и навсегда выделенных направлений развития, составляют основу системного восприятия экономики. Подобные рассуждения справедливы и в отношении различных частей математики.

Взаимодействие математики и экономики, осуществляемое в ходе построения математических моделей тех или иных фрагментов экономики или экономики в целом, символически отражается с помощью ленты Мебиуса. Размещение математики и экономики на поверхности ленты Мебиуса выражает перспективу глубокого симбиоза этих, в целом, не похожих друг на друга наук.

Заключение

Изложенное позволяет сделать следующие фундаментальные выводы о взаимосвязи математики и экономики.